Bluetoothイヤホンはまず無いだろ、ゲーム機だと絶対に超低遅延であることが要求されるのだから
少しでもコストを下げたいスイッチじゃあな

そもそもスイッチなどでBluetoothイヤホン使いたかったら、ゲーム機用Bluetoothトランスミッター買えばいいだけ