PS4コン持ってる訳ではないから間違ってるかもしれん、と前置き
Big Pictureモードにしなくてもライブラリからゲームを右クリックしてSteamコントローラ設定を編集すれば、ソフトウェアキーボードは発動しないんじゃなかったかな?