しかし、auひかりの「ホームゲートウェイ」ではIPアドレスは固定されたままなんですね。

ホームゲートウェイを交換するか、移転でもしない限りほぼIPアドレスが変わることはないと言えるでしょう。
https://thesaibase.com/net/auhikari/ah-ip#PCIP