現在クローズドβテスト中ですが、参加キーは公式サイトで応募するほか下記サイトで手に入ります
http://www.gamereactor.eu/news/331253/Grab+your+Steam+key+and+play+Total+War+Arena/
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また、humblebundleにてキーが販売された過去があり、現在はG2A等の鍵屋にて二束三文で購入できます。