バッテリーなしでキーオン時に点灯不良で、ある程度回転数上げると点灯、これは正常です。
バッテリーつけてキーオン時に正常に点灯、これも正常です。

この時点でアース不良の懸念は払しょくされてると思ってもいい。

新品のバッテリーに変えたなら様子見てみれば？　充電しただけなら念のため新品に変えたほうがいい。
レギュレーターが逝ってたらバッテリー新品でも電装がおかしなことなることが多い。

再発するなら一応、発電コイル(ジェネレーター)も視野に入れておいたほうがいいかもしれない。